Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right|\), gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Khi đó môđun lớn nhất của số phức \(w = {z_1} + {z_2}\) là:

Ta có

$\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z  \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 =  - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2  \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2  - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2  + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2  - 1\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\end{array}$

Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2  - 1\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2  + 1\\z + \overline z  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)i\\{z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{z_2} = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)i\\{z_2} = \left( { - \sqrt 2  - 1} \right)i\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\end{array} \right.\)