Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 .$ Gọi $M,\,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}.$

Mô đun của số phức \(w = M + mi\) là:

Đặt $z = x + yi\,\,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ suy ra tập hợp các điểm $M\left( z \right) = \left( {x;y} \right)$ là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;4} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 .$ Ta có $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2} = {\left| {x + 2 + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - {x^2} - {\left( {y - 1} \right)^2}$

\( = {x^2} + {y^2} + 4x + 4 - {x^2} - {y^2} + 2y - 1 \) \(= 4x + 2y + 3\)

\( \Rightarrow \left( \Delta \right):4x + 2y + 3 - P = 0.\)

Ta cần tìm $P$ sao cho đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ và đường tròn $\left( C \right)$ có điểm chung $ \Leftrightarrow $$d\left( {I;\left( \Delta  \right)} \right) \le R.$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.3 + 2.4 + 3 - P} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {2^2}} }} \le \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10 \Leftrightarrow  - \,10 \le 23 - P \le 10 \Leftrightarrow 13 \le P \le 33.$

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}\max P = 33\\\min P = 13\end{array} \right. \Rightarrow \,\,w = M + mi = 33 + 13i.$ Vậy $\left| w \right| = \sqrt {1258} .$