Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} }  = 8 - {x^2}\) là:

Ta có \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} }  = 8 - {x^2} \)\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4\sqrt {{x^2} - 4} }  = 16 - 2{x^2}\) (1)

ĐK: \( \left| x \right| \ge 2 \)

Đặt \(y = \sqrt {{x^2} - 4} {\rm{ }}\, (\, y \ge 0) \Rightarrow {x^2} = {y^2} + 4\)

Phương trình (1) trở thành:

\(\begin{array}{l}{\rm{    }}\sqrt {{y^2} + 4 + 4y}  = 16 - 2\left( {{y^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = 8 - 2{y^2}\\ \Leftrightarrow \left| {y + 2} \right| = 8 - 2{y^2}\\ \Leftrightarrow y + 2 = 8 - 2{y^2}\,{\rm{ }}({\rm{\,do\, }}y \ge 0 \Rightarrow y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow (y + 2)(2y - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 2y - 3 = 0{\rm{ }}\,({\rm{\,do }}\,y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Với \(y = \dfrac{3}{2}\), ta có:

\({x^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{5}{2}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow x =  \pm \dfrac{5}{2}\)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  \pm \dfrac{5}{2}\).

Tổng các nghiệm của phương trình là \(\dfrac{5}{2} + \dfrac{{ - 5}}{2} = 0.\)