Tính tích phân \(I = \int\limits_2^{2\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt 3 }}{{x\sqrt {{x^2} - 3} }}dx} \) ta được :

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 3}  \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} - 3 \Leftrightarrow tdt = xdx\) và \({x^2} = {t^2} + 3\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \Leftrightarrow t = 1\\x = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó ta có :

\(I = \int\limits_2^{2\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt 3 xdx}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} - 3} }}}  = \int\limits_1^3 {\dfrac{{\sqrt 3 tdt}}{{\left( {{t^2} + 3} \right)t}}}  = \sqrt 3 \int\limits_1^3 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 3}}} \)

Đặt \(t = \sqrt 3 \tan \alpha  \Leftrightarrow dt = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\cos }^2}\alpha }}d\alpha  = \sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)d\alpha \)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6}\\t = 3 \Leftrightarrow t = \dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có : $I = \sqrt 3 \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)d\alpha }}{{3{{\tan }^2}\alpha  + 3}}}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {d\alpha }  = \left. \alpha  \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} = \dfrac{\pi }{6}$