Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6 = 0$ vô nghiệm ?

Xét phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).$

TH1. Với $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2,$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,2.$

Suy ra với $m = 2$ thì phương trình $\left(  *  \right)$ có nghiệm duy nhất $x =  - \,2.$

Do đó $m = 2$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2. Với $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2,$ khi đó để phương trình $\left(  *  \right)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta ' < 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {5m - 6} \right) < 0$ $ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m + 9 - \left( {5{m^2} - 16m + 12} \right) < 0$

$ \Leftrightarrow  - \,{m^2} + 4m - 3 < 0$$ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.$.

Do đó, với $\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.$ thì phương trình $\left(  *  \right)$ vô nghiệm.

Kết hợp hai TH, ta được $\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.