Tìm $m$  để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $d:\,\,\,y = mx - m + 1\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)$ lớn nhất.

Bước 1:

Gọi $A$ và $B$  lần lượt là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ với trục $Ox,Oy$ .

Khi đó, $A\left( {\dfrac{{m - 1}}{m};\,\,0} \right),\,\,\,\,B\left( {0;\,\, - m + 1} \right)$.

Gọi H là hình chiều của $O$ lên đường thẳng $\left( d \right)$ thì $OH$ chính là khoảng cách từ điểm $O$ tới đường thẳng $\left( d \right)$ .

Xét tam giác vuông $OAB$ có $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow OH = \dfrac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}$.

Suy ra $O{H_{\min }} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }}} \right)_{\min }}$.

Ta có $\dfrac{{OA.OB}}{{\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} }} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{m - 1}}{m}} \right|\left| { - m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{m - 1}}{m}} \right)}^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2}\left( {1 + {m^2}} \right)} }} = \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }}$

Bước 2:

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$\left| {m - 1} \right| =\left| {1.m +(- 1).1} \right|$$\le \sqrt{1^2+(-1)^2}.\sqrt{1^2+m^2}$

$=>\dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} $$\le \dfrac{{\sqrt 2 \sqrt {1 + {m^2}} }}{{\sqrt {1 + {m^2}} }} = \sqrt 2 $.

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{1}{-1}=\dfrac{m}{1}\Leftrightarrow m=-1$

Vậy $O{H_{\min }} = \sqrt 2 $ và đạt được khi $m =  - 1$.