Câu hỏi:
2 năm trước

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Ta có \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\) \( = 2{\cos ^2}x - 1 - \sqrt 3 \sin 2x + 2\)\( = \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2\left( * \right)\)

Mà  \( - \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \)

Nên \( - 2 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le 2\)

\( \Rightarrow 0 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2 \le 4\) hay \(0 \le y \le 4,\forall x \in \,R\)

Vậy \(\min y = 0;\max y = 4\)

Hướng dẫn giải:

Đưa \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) về hàm số thuần nhất đối với \(\sin 2x,\cos 2x\) và sử dụng kiến thức \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \le a\,\sin u + b\,\cos u \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Giải thích thêm:

- Ta có thể mở rộng bài toán như sau:

\(y = a\,\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c\) .

Ta có \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + c \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + c\)

- Ngoài cách nhớ công thức ở bài toán tổng quát phía bên phải ta có thể nhớ theo điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất theo $\sin $ và $\cos $ như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = a\,\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c\)

$a\sin \left[ {f\left( x \right)} \right] + b\cos \left[ {f\left( x \right)} \right] + c - y = 0$ điều kiện có nghiệm \({a^2} + {b^2} \ge {\left( {c - y} \right)^2}\) . Từ đây ta tìm được \(\min ,\max\) của \(y\)

Câu hỏi khác