Tìm các số hữu tỉ \(a\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)
\(P = A.B = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}.\dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 7} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = \dfrac{{\sqrt a + 2 + 5}}{{\sqrt a + 2}}\)\( = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} > 1\)
Ta có: với \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \sqrt a + 2 > 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow 1 < P < \dfrac{7}{2}\end{array}\)
Mà \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow P = \left\{ {2;\,\,3} \right\}.\)
+) Với \(P = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\left( {\sqrt a + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\sqrt a + 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)
+) Với \(P = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\left( {\sqrt a + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\sqrt a + 6\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt a = 1 \Leftrightarrow \sqrt a = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.