Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| + \left| {z + i} \right| = 4\) là:

Gọi $z = x + yi\,\,\,\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$

Ta có \(\left| {z - i} \right| + \left| {z + i} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  = 4\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = 4 - \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  \le 4\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16 + {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 8\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 16\\2\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}  = y + 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 16\\y \ge  - 4\\4{x^2} + 3{y^2} = 12\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} \le 16}&{\left( 1 \right)}\\{y \ge  - 4}&{\left( 2 \right)}\\{\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1}&{\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left( 3 \right)\) đều thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\).

Vậy tập hợp những điểm \(M\) là elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)