Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}.C_{n + 1}^1 + C_n^n.C_{n + 1}^0 = 1716\) là:

Ta có:

\({\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x + C_{2n + 1}^2{x^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\)

Mặt khác:

\({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\)

\({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_{n + 1}^n{x^n} + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}\)

Suy ra

\({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)  ( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}} ) \)

Đồng nhất hệ số của \({x^n}\) ta được:

\(C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}.C_{n + 1}^1 + C_n^n.C_{n + 1}^0 = C_{2n + 1}^n\)

Với \(n = 9\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{19}^9 = 92378\)

Với \(n = 8\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{17}^8 = 24310\)

Với \(n = 7\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{15}^7 = 6435\)

Với \(n = 6\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{13}^6 = 1716\)