Số nghiệm của phương trình ${x^2} - 6{\rm{x}} + 9 = 4\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + 6}$ là:

Điều kiện: ${x^2} - 6{\rm{x}} + 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 3 - \sqrt 3 \\x \ge 3 + \sqrt 3 \end{array} \right.$

Đặt: $\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + 6}  = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = {t^2}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 9 = {t^2} + 3$

Khi đó, phương trình trở thành: $\Leftrightarrow {t^2} + 3 = 4t \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

+) Với $t = 1$ $\Rightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = 1$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 5 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

+) Với $t = 3$ $\Rightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = 9$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + 2\sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3 - 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $4$  nghiệm.