Sắp xếp \(5\) học sinh lớp \(A\) và \(5\) học sinh lớp \(B\) vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy \(5\) ghế sao cho \(2\) học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là:

Cách 1:

Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử đó là học sinh lớp $A$ có $10$ cách chọn ghế.

Bước 2: Khi đó ta cần chọn một bạn lớp B để xếp vào vị trí đối diện của bạn lớp A vừa rồi, suy ra có $5$ cách chọn.

Bước 3: Còn trống $8$ ghế nên có $8$ cách xếp học sinh thứ 2 của lớp $A$.

Bước 4: Có $4$ cách chọn ra học sinh lớp $B$ vào ghế đối diện bạn vừa được sắp xếp (bạn lớp A).

Bước 5: Có $6$ cách xếp học sinh thứ 3 của lớp $A$.

Bước 6: Có $3$ cách chọn học sinh lớp $B$ vào ghế đối diện.

Bước 7: Có $4$ cách xếp học sinh thứ 4 của lớp $A$ vào ghế tiếp.

Bước 8: Có $2$ cách chọn học sinh lớp $B$ vào ghế đối diện.

Bước 9: Có $2$ cách xếp học sinh cuối cùng của lớp $A$ vào ghế kế tiếp.

Bước 10: Có $1$ cách chọn học sinh lớp $B$ vào ghế đối diện.

Theo quy tắc nhân thì có $10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = {\left( {5!} \right)^2}{.2^5} = 460800$ cách.

Cách 2:

Vì $2$ học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi $1$ học sinh lớp $A$ và $1$ học sinh lớp $B$.

Số cách xếp $5$ học sinh lớp $A$ vào $5$ cặp ghế là $5!$ cách. Số cách xếp $5$ học sinh lớp $B$ vào $5$ cặp ghế là $5!$ cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là $2$ cách.

Theo quy tắc nhân thì có ${\left( {5!} \right)^2}{.2^5} = 460800$ cách.