Phương trình \({x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 10x + 4 = 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Trả lời bởi giáo viên
\({x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 10x + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 4{x^2} + 4} \right) - 5{x^3} + 4{x^2} - 10x = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - \left( {5{x^3} + 10x} \right) + 4{x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - 5x\left( {{x^2} + 2} \right) + 4{x^2} = 0\)
Đặt \(t = {x^2} + 2\) ta được \({t^2} - 5tx + 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {t - x} \right)\left( {t - 4x} \right) = 0\)
Hay phương trình đã cho \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x + 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x + 2 = 0\left( {VN} \right)\\{x^2} - 4x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 \)
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi vế trái phương trình về dạng tích.
- Giải phương trình tìm nghiệm và kiểm tra các nghiệm nguyên của phương trình.