Phương trình $x({2^{x - 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}$có tổng các nghiệm bằng

$\begin{array}{l}x\left( {{2^{x - 1}} + 4} \right) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x - 1}} - {4.2^{x - 1}} + 4x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {{2^{x - 1}} - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{2^{x - 1}} - x = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = {2^{x - 1}} - x$ trên $\mathbb{R}$ . Ta có

$f'\left( x \right) = {2^{x - 1}}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)$

$f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x < {x_0};f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > {x_0}$

nên phương trình $f(x) = 0$ có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng $\left( {-\infty ;{x_0}} \right)$  và $\left( {{x_0}; + \infty } \right)$

Mà $f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0$  nên phương trình (*) có 2 nghiệm $x = 1$ và $x = 2$

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $7$.