Phương trình \({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} + x{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {x^2} + 1\) có nghiệm là:

Điều kiện: \(x > 0\)

Đặt \(u = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0;\,\,\,v = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.\)

Ta có: \(uv = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\left[ {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]^{{{\log }_2}x}} = {2^{{{\log }_2}x}} = x.\)

Khi đó ta có phương trình đã cho trở thành: \(u + \left( {uv} \right)v = {u^2}{v^2} + 1 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) + u{v^2} - {u^2}{v^2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) - u{v^2}\left( {u - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {1 - u{v^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u{v^2} = 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(u = 1 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\)

+) Với \(u{v^2} = 1 \Leftrightarrow uv.v = 1 \Rightarrow v = \dfrac{1}{x}\)

\( \Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) =  - {\log _2}x\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {{{\log }_2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) + 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của pt.