Phương trình ${\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} + x{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {x^2} + 1$ có nghiệm là:

Điều kiện: $x > 0$

Đặt $u = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0;\,\,\,v = {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} > 0.$

Ta có: $uv = {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\left[ {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]^{{{\log }_2}x}} = {2^{{{\log }_2}x}} = x.$

Khi đó ta có phương trình đã cho trở thành: $u + \left( {uv} \right)v = {u^2}{v^2} + 1 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) + u{v^2} - {u^2}{v^2} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right) - u{v^2}\left( {u - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {1 - u{v^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u{v^2} = 1\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $u = 1 \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)$

+) Với $u{v^2} = 1 \Leftrightarrow uv.v = 1 \Rightarrow v = \dfrac{1}{x}$

$\Rightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^{{{\log }_2}x}} = {\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}} \right)$

$\Leftrightarrow {\log _2}x.{\log _2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) =  - {\log _2}x$

$\Leftrightarrow {\log _2}x\left[ {{{\log }_2}\left( {2 - \sqrt 2 } \right) + 1} \right] = 0$

$\Leftrightarrow {\log _2}x = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy $x = 1$ là nghiệm của pt.