Lấy điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $AB$( $N$ khác $A$, $N$ khác $B$). Lấy điểm $P$ thuộc tia đối của $MB$ sao cho $MP = AN$. Tam tam giác $CPN$ là tam giác gì? Đường thẳng $AM$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng nào?

Xét tam giác $CAN$ và tam giác $CMP$ có:

$AN = MP\,\,\,\,\left( {gt} \right)$

$\angle CAN = \angle CMP = {90^0}$

$AC = CM$($A,M$ cùng thuộc đường tròn $\left( {C;\,\,CA} \right)$)

$\Rightarrow \Delta CAN = \Delta CMP\,\,\,\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow CN = CP$(2 cạnh tương ứng bằng nhau).

$\Rightarrow \Delta CNP$ cân tại $C$.

Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $PN$.

Vì $\Delta CAN = \Delta CMP\,\,\,\left( {cmt} \right)$ nên:

$\angle ACN = \angle MCP$(2 góc tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow \angle ACM = \angle ACN + \angle NCM$ $= \angle PCM + \angle MCN = \angle NCP$

$\Rightarrow$$\Delta ACM$ và $\Delta CNP$ là hai tam giác cân đỉnh $C$ có $\angle ACM = \angle PCN$

$\Rightarrow \angle CNP = \angle CAM$ (các góc ở đáy của các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)

Hay $\angle CAE = \angle CNE$

$\Rightarrow CANE$ là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

$\Rightarrow \angle CEN = {90^0} \Rightarrow CE \bot PN$

Mà $\Delta CNP$ cân tại $C$ (cmt)

$\Rightarrow CE$ là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta CNP$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $PN$

Vậy đường thẳng $AM$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $NP$.