Câu hỏi:
2 năm trước
Đoạn mạch xoay chiều RLC, cuộn dây thuần cảm, biết \(L = C{R^2}\). Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, với tần số góc \(\omega \) thay đổi, trong mạch có cùng hệ số công suất với hai tần số là \({\omega _1} = 60\pi (rad/s)\)và \({\omega _2} = 180\pi (rad/s)\). Hệ số công suất của mạch là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có, hệ số công suất \(cos\varphi = \dfrac{R}{Z}\)
Theo đề bài
\(\begin{array}{l}cos{\varphi _1} = cos{\varphi _2} \leftrightarrow \dfrac{R}{{{Z_1}}} = \dfrac{R}{{{Z_2}}}\\ \to {Z_1} = {Z_2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{Z_1} = {Z_2} \leftrightarrow Z_1^2 = Z_2^2\\ \leftrightarrow {R^2} + {\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)^2} = {R^2} + {\left( {{Z_{{L_2}}} - {Z_{{C_2}}}} \right)^2}\\ \to \left| {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right| = \left| {{Z_{{L_2}}} - {Z_{{C_2}}}} \right|\\ \to \left[ \begin{array}{l}{Z_{{L_1}}} + {Z_{{L_2}}} = {Z_{{C_1}}} + {Z_{{C_2}}}\\{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}} = {Z_{{L_2}}} - {Z_{{C_2}}}(L)\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{Z_{{L_1}}} + {Z_{{L_2}}} = {Z_{{C_1}}} + {Z_{{C_2}}}\\ \leftrightarrow {\omega _1}L + {\omega _2}L = \dfrac{1}{{{\omega _1}C}} + \dfrac{1}{{{\omega _2}C}}\\ \leftrightarrow \left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right)L = \left( {\dfrac{1}{{{\omega _1}}} + \dfrac{1}{{{\omega _2}}}} \right)\dfrac{1}{C}\\ \leftrightarrow \left( {{\omega _1} + {\omega _2}} \right)L = \left( {\dfrac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{{{\omega _1}{\omega _2}}}} \right)\dfrac{1}{C}\\ \to {\omega _1}{\omega _2} = \dfrac{1}{{LC}}\\ \to {\omega _2}L = \dfrac{1}{{{\omega _1}C}}\\ \to {Z_{{L_2}}} = {Z_{{C_1}}}\end{array}\)
Thay vào biểu thức tính hệ số công suất, ta được:
\(\begin{array}{l}cos{\varphi _1} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{C_1}}}} \right)}^2}} }} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_{{L_1}}} - {Z_{{L_2}}}} \right)}^2}} }}\\ = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {L^2}{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}^2}} }}\end{array}\)
Lại có \(L = C{R^2} \to {R^2} = \dfrac{L}{C}\) , thay vào biểu thức trên, ta được:
\(\begin{array}{l}cos{\varphi _1} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{L}{C}} }}{{\sqrt {\dfrac{L}{C} + {L^2}{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}^2}} }} = \sqrt {\dfrac{1}{{1 + LC{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}^2}}}} \\ = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{\omega _1}{\omega _2}}}{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + \dfrac{{{{\left( {60\pi - 180\pi } \right)}^2}}}{{60\pi .180\pi }}} }} = \sqrt {\dfrac{3}{7}} \end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Vận dụng biểu thức tính hệ số công suất: \({\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{R}{Z}\)
Câu hỏi khác
- Bài tập mạch RLC mắc nối tiếp có lời giải MÔN LÝ lớp 12
- Bài tập các mạch điện xoay chiều có lời giải MÔN LÝ lớp 12
- Bài tập pha u,i - viết phương trình u, i có lời giải MÔN LÝ lớp 12
- Bài tập lý thuyết đại cương về dòng điện xoay chiều có lời giải MÔN LÝ lớp 12
- Bài tập đại cương dòng điện xoay chiều có lời giải MÔN LÝ lớp 12
