Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x \in \,\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$ thỏa mãn $27{\,^{3{{\rm{x}}^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9{\rm{x}}}}\,?$

* pt $\Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1$.

$\Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}$, khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$ $\Rightarrow y >  - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$.

$\Rightarrow$ Ta chặn được $y >  - 3$  =>$y \ge  - 2$.

* $pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0$.

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 8}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 3 \right) = {27^{3y}} - 3y - 1\end{array} \right.$.

Nhận thấy ngay $f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}$, chỉ bằng 0 tại $y = 0$.

+ Xét $y = 0 \Rightarrow$ thay vào phương trình ban đầu $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$, loại vì không có nghiệm thuộc $\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$.

+ Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}$.

1) Ta Table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y =  - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}$.

$\Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}$

$\Rightarrow$ Có 11 giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$.

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 10$ thì $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0$ và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi $y \ge 10$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 9} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 10\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)$.

Ta có $h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$.

$\Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{14}}{3} > 0$.

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm với $x \in \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$.

Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của $y$.