Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104

Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y\) bằng

Ta có: \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x - 3 + y{.4^x}{.4^{y - 1}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right){.4^{ - x}} + y{.4^{y - 1}} \ge 0\\ \Leftrightarrow y{.4^{y - 1}} \ge \left( {3 - 2x} \right){.4^{ - x}}\\ \Leftrightarrow y{.2^{2y - 2}} \ge \left( {3 - 2x} \right){.2^{ - 2x}}\\ \Leftrightarrow {2^3}.y{.2^{2y - 2}} \ge {2^3}.\left( {3 - 2x} \right){.2^{ - 2x}}\\ \Leftrightarrow 2y{.2^{2y}} \ge \left( {3 - 2x} \right){.2^{3 - 2x}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

TH1: Với \(3 - 2x \le 0\) \( \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với mọi giá trị \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{3}{2}\\y \ge 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y \ge \dfrac{{33}}{4}\,\,\,\left( 2 \right)\)

TH2: Với \(3 - 2x > 0\) \( \Leftrightarrow 0 \le x < \dfrac{3}{2}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = t{.2^t}\) với \(t \ge 0\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0\,\,\forall t \ge 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {2y} \right) \ge f\left( {3 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 2y \ge 3 - 2x\\ \Leftrightarrow y \ge \dfrac{3}{2} - x\end{array}\)

\( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y\)\( \ge {x^2} + {\left( {\dfrac{3}{2} - x} \right)^2} + 4x + 3 - 2x\) \( = 2{x^2} - x + \dfrac{{21}}{4}\)

\( \Rightarrow P = 2{\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{41}}{8} \ge \dfrac{{41}}{8}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (2) và (3) ta được: \(Min\,\,P = \dfrac{{41}}{8}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4}\\y = \dfrac{5}{4}\end{array} \right..\)