Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá \(255\) số nguyên \(y\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}\left( {x + y} \right)\)?

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y > 0\\x + y > 0\end{array} \right..\)

Ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}\left( {x + y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + y \ge {3^{{{\log }_2}\left( {x + y} \right)}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + y \ge {\left( {x + y} \right)^{{{\log }_2}3}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Điều kiện: \(x + y \ge 1\,\,\,\left( {do\,\,\,x,\,\,y \in \mathbb{Z},\,\,x + y > 0} \right).\)  

Đặt \(t = x + y\,\,\,\left( {t \ge 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + t - x \ge {t^{{{\log }_2}3}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \ge {t^{{{\log }_2}3}} - t\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Để \(\left( 1 \right)\) không có quá \(255\) nghiệm nguyên \(y\) \( \Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\) có không quá \(255\) nghiệm nguyên dương \(t\)

Đặt \(A = f\left( {255} \right)\) với \(f\left( t \right) = {t^{{{\log }_2}3}} - t\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = {\log _2}3.{t^{{{\log }_2}3 - 1}} - 1 > 0\,\,\,\forall t > 1\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow 1 \le t \le {f^{ - 1}}\left( {{x^2} - x} \right)\) với \({x^2} - x \ge 0\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) có không quá \(255\) nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( {{x^2} - x} \right) \le 255\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x \le 255\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 255 \le 0\) \( \Leftrightarrow  - 78 \le x \le 79\)

Lại có: \(x \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow \) Có \(158\) số nguyên \(x\) thỏa mãn bài toán.