Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại ít nhất bốn số nguyên $b \in \left( { - 12;12} \right)$ thỏa mãn ${4^{{a^2} + b}} \le {3^{b - a}} + 65$?

Ta có ${4^{{a^2} + b}} \le {3^{b - a}} + 65 \Leftrightarrow {4^{{a^2} + b}} - {3^{b - a}} - 65 \le 0$

$\Leftrightarrow {4^{{a^2}}} - \dfrac{{{3^{b - a}}}}{{{4^b}}} - \dfrac{{65}}{{{4^b}}} \le 0$$\Leftrightarrow  - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} \cdot \dfrac{1}{{{3^a}}} - 65 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} + {4^{{a^2}}} \le 0$

Xét hàm số $f\left( b \right) =  - {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} \cdot \dfrac{1}{{{3^a}}} - 65 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} + {4^{{a^2}}},$$b \in \left( { - 12;12} \right)$

$\Rightarrow {f^\prime }\left( b \right) =  - \ln \left( {\dfrac{3}{4}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} \cdot \dfrac{1}{{{3^a}}}$$- 65\ln \left( {\dfrac{1}{4}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} > 0$.

=> $f (b)$ đồng biến.

Để $f\left( b \right) \le 0$ có ít nhất 4 nghiệm nguyên thì $f\left( { - 8} \right) \le 0 \Leftrightarrow {4^{{a^2} - 8}} \le {3^{ - a - 8}} + 65$ $\Rightarrow {4^{{a^2} - 8}} \le 65 \Rightarrow {a^2} - 8 \le {\log _4}65$.

Do $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in  - 3; - 2; \ldots 3$. Có 7 giá trị nguyên của $a$.