Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình  \(m{.3^{{x^2} - 3x + 2}} + {3^{4 - {x^2}}} = {3^{6 - 3x}} + m\) có đúng \(3\) nghiệm thực phân biệt.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - 3x + 2}} = u\\{3^{4 - {x^2}}} = v\end{array} \right. \Rightarrow u.v = {3^{6 - 3x}}$.

Khi đó phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}mu + v = uv + m \Leftrightarrow m\left( {u - 1} \right) - v\left( {u - 1} \right) = 0 \\\Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {m - v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\v = m\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^{^{{x^2} - 3x + 2}}} = 1\\{3^{4 - {x^2}}} = m\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\4 - {x^2} = {\log _3}m\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\{x^2} = 4 - {\log _3}m\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}$

Để phương trình có ba nghiệm thì ${x^2} = 4 - {\log _3}m$ có một nghiệm duy nhất khác $1;2$ hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 hoặc 2, nghiệm còn lại khác 1 và 2.

TH1: (*) có nghiệm duy nhất $x=0$.

Tức $4 - {\log _3}m = 0 \Leftrightarrow m = 81$.

TH2: (*) có một nghiệm x=1 thì 

\({1^2} = 4 - {\log _3}m\)\( \Leftrightarrow {\log _3}m = 3 \Leftrightarrow m = 27\)

Khi đó pt (*) là \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) thỏa mãn yêu cầu.

TH3: (*) có nghiệm x=2. Khi đó \({2^2} = 4 - {\log _3}m\)\( \Leftrightarrow {\log _3}m = 0 \Leftrightarrow m = 1\)

Khi đó pt (*) là \({x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2\) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy \(m \in \left\{ {81;27;1} \right\}\)