Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \(y' = {x^3}\left[ {8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)
Do \(x = 0\) là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) khi qua nghiệm \(x = 0\)
*) TH1: \(x = 0\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m = \pm 2\)
Với $m{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ thì $g\left( x \right) = 0$ có nghiệm $x = 0$ bội $4$ theo kết quả ở trên thì $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ là nghiệm bội $7$ của $y'$ nên $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn $m{\rm{ }} = {\rm{ }}2.$
Với $m = - 2$ thì $g\left( x \right)$ có nghiệm $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ và 1 nghiệm dương, lúc này $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ là nghiệm bội \(4\) của \(f'\left( x \right)\) nên \(x = 0\) không là điểm cực trị của hàm số. Loại $m{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}2.$
*) TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay $m \ne \pm 2$. Ta có \(g\left( 0 \right) = - 4\left( {{m^2} - 4} \right)\).
\(y' = {x^3}g\left( x \right)\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) qua nghiệm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow - 4\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)
Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) có nghiệm \(x = 0\) và \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = 0\)
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
