Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}} \right|\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(y = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}} \right|\)
\(y = \left| {\sin x + \cos x + \dfrac{{1 + \sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}} \right|\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)
Khi đó :
\(y = \left| {t + \dfrac{{2\left( {t + 1} \right)}}{{{t^2} - 1}}} \right| = \left| {t + \dfrac{2}{{t - 1}}} \right| = \left| {t - 1 + \dfrac{2}{{t - 1}} + 1} \right|\)
Nếu \(t - 1 > 0 \Rightarrow t - 1 + \dfrac{2}{{t - 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2 + 1 \Rightarrow y \ge 2\sqrt 2 + 1\)
Nếu \(t - 1 < 0 \Leftrightarrow t < 1\) thì ta viết lại \(y = \left| {1 - t + \dfrac{2}{{1 - t}} - 1} \right|\)
Ta có: \(1 - t + \dfrac{2}{{1 - t}} \ge 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow 1 - t + \dfrac{2}{{1 - t}} - 1 \ge 2\sqrt 2 - 1\) hay \(y \ge 2\sqrt 2 - 1\)
Vậy \(y \ge 2\sqrt 2 - 1\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {1 - t} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow t = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {t < 1} \right)\)
\( \Rightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\), tìm điều kiện của \(t\)
- Đưa hàm số về ẩn \(t\) và sử dụng bất đẳng thức Cô – si để đánh giá tìm \(GTNN\) của hàm số.
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
