Trả lời bởi giáo viên
: \(\)
*) Xét tứ giác \(HDCE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle HEC = {90^o}\\\angle HDC = {90^o}\end{array} \right. \Rightarrow \angle HEC + \angle HDC = {180^o}\)
Suy ra tứ giác \(HDCE\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \angle HDE = \angle HCE\) ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\))
Chứng minh tương tự có \(\angle FBH = \angle FDH\)
Mà có \(\angle FBH = \angle HCE\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\))
\( \Rightarrow \angle FDH = \angle HDE\) , suy ra \(HD\) là phân giác \(\angle FDE\)
Chứng minh tương tự ta có : \(HE\)là tia phân giác \(\angle FED\) ; \(FH\) là phân giác \(\angle DFE\)
Suy ra H là giao của 3 đường phân giác trong \(\Delta FDE\) , suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta FDE\;\;\left( {dpcm} \right).\)
*) Kéo dài \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(G.\)
Có\(\angle ACG = {90^o}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(BH//GC\) (do cùng vuông góc với ${\rm{AC}}$)
Chứng minh tương tự có \(HC//BG\)
\( \Rightarrow BHCG\) là hình bình hành (do có 2 cặp cạnh đối song song)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH = GC\\HC = BG\end{array} \right.\)
Xét \(\Delta ACG\) có : \(MQ//GC\) (do cùng vuông góc với ${\rm{AC}}$)
\( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{GC}} = \dfrac{{AM}}{{AG}}\) (định lí Ta-lét)
Chứng minh tương tự có \(\dfrac{{PM}}{{BG}} = \dfrac{{AM}}{{AG}}\)
\(\)\( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{GC}} = \dfrac{{PM}}{{BG}}\left( { = \dfrac{{AM}}{{AG}}} \right).\)
Mà có \(\left\{ \begin{array}{l}BH = GC\\HC = BG\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{BH}} = \dfrac{{PM}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{PM}} = \dfrac{{BH}}{{HC}}\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\) \(\)
Xét \(\Delta FHB\) và \(\Delta EHC\) có:
\(\angle FBH = \angle HCE\) (do cùng phụ với \(\angle BAC\))
\(\angle BFH = \angle HEC = {90^o}\)
\( \Rightarrow \Delta FHB \backsim \Delta EHC\left( {g - g} \right) \Rightarrow \dfrac{{FH}}{{HE}} = \dfrac{{BH}}{{HC}}\) (2)\(\) \(\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{PM}} = \dfrac{{FH}}{{HE}} \Rightarrow MQ.HE = HF.MP.\)
Vậy cả A, B đều đúng.
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng các tính chất: Tứ giác có 2 góc đối bù nhau thì nội tiếp đường tròn ; 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
+ Kéo dài \(AO\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(G.\)
+ Sử dụng định lí Ta-lét