Câu hỏi:
2 năm trước
Cho x,y là các số thực thỏa mãn log4(x+y)+log4(x−y)≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2x - y.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Điều kiện : x + y >0, x – y > 0
{\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4
Ta có: P = 2x - y = \dfrac{{x + y + 3(x - y)}}{2} \ge \sqrt {(x + y).3(x - y)} = \sqrt {3({x^2} - {y^2})} = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3
Dấu “=” xảy ra khi:
\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\{x^2} - {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\3{\left( {x - y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x + y = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 \\y = \sqrt 3 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.
Vậy Min\,P = 2\sqrt 3 .
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô si: \forall x,y \ge 0 ta có: \dfrac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy}
