Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({2^{x + y - 1}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 3x + 3y + 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{x + y - 1}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 3x + 3y + 1\\ \Leftrightarrow {2^{x + y}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 6x + 6x + 2\\ \Leftrightarrow {6^{x + y}} + {2^{x + y}} = 6\left( {x + y} \right) + 2\end{array}\)

Đặt \(x + y = t\), phương trình trở thành \({6^t} + {2^t} = 6t + 2\) \( \Leftrightarrow {6^t} + {2^t} - 6t - 2 = 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {6^t} + {2^t} - 6t - 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {6^t}.\ln 6 + {2^t}.\ln 2 - 6\\f''\left( t \right) = {6^t}{\ln ^2}6 + {2^t}.{\ln ^2}2 > 0\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\end{array}\)

Do đó hàm số \(y = f'\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), suy ra phương trình \(f'\left( t \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {6^0} + {2^0} - 6.0 - 2 = 0\\f\left( 1 \right) = {6^1} + {2^1} - 6.1 - 2 = 0\end{array} \right.\), do đó phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có đúng hai nghiệm \(t = 0\), \(t = 1\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\)

TH1: \(x + y = 0 \Rightarrow y =  - x\).

Thay vào \(P\) ta có:  \(P = {x^2} + xy + {y^2} = {x^2} \ge 0\).

TH2: \(x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x\).

Thay vào \(P\) ta có:  

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + x\left( {1 - x} \right) + {\left( {1 - x} \right)^2}\\=x^2-x+1\\= {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4} \end{array}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(0\), đạt được khi \(x + y = 0\).