Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tứ diện $ABCD$. Trên cạnh $AD$ lấy trung điểm $M$, trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ bất kỳ. Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng $MN$ và song song với $CD$. Xác định vị trí của điểm $N$ trên cạnh $BC$ sao cho thiết diện là hình bình hành.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
$\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\\CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$
Suy ra $MP//CD$ với \(P \in CD\)
Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right)\\CD\parallel \left( \alpha \right)\\CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(NQ//CD\left( {Q \in BD} \right)\)
Vậy thiết diện là tứ giác $MPNQ$ có $MP//NQ//CD$ nên $MPNQ$ là hình thang.
Để $MPNQ$ là hình bình hành thì cần thêm điều kiện $MP = NQ$.
Mà \(MP = \dfrac{1}{2}CD\) (do $MP$ là đường trung bình của tam giác $ACD$).
Suy ra \(NQ = \dfrac{1}{2}CD\). Mà $NQ//CD$ nên $NQ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ .
Vậy $N$ là trung điểm của $BC$ hay \(NB = \dfrac{1}{2}BC\).
Hướng dẫn giải:
- Đưa về cùng mặt phẳng.
- Xác định thiết diện dựa vào các yếu tố song song.
- Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$ .
- Sử dụng các tính chất đường trung bình của tam giác.
- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình thang, hình bình hành.
