Cho tam giác nhọn $ABC$ hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H$. Biết $HD:HA = 1:2$. Tính $\tan B.\tan C$

Ta có: $\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};\tan C = \dfrac{{AD}}{{CD}}$.

Suy ra $\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}$   (1)

$\widehat {HBD} = \widehat {CAD}$ (cùng phụ với $\widehat {ACB}$); $\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}$.

Do đó $\Delta BDH \backsim \Delta ADC$ (g.g), suy ra $\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}$, do đó $BD.DC = DH.AD$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}$  (3).

Theo giả thiết $\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}$ suy ra $\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}}$ hay $\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$, suy ra $AD = 3HD$.

Thay vào (3) ta được: $\tan B.\tan C = \dfrac{{3HD}}{{DH}} = 3$.