Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\),…, tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác \({A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}\)…. Gọi \(P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\) là chu vi của các tam giác \(ABC,{A_1}{B_1}{C_1},{A_2}{B_2}{C_2},...,{A_n}{B_n}{C_n},...\)Tìm tổng \(P,{P_1},{P_2},...,{P_n},...\)

Bước 1:

Gọi \({a_n}\) là cạnh của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) với n nguyên dương.

Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì \({A_n}{B_n}{C_n}\) bằng \({a_n} = \dfrac{a}{{{2^n}}}\) với mọi số nguyên dương n   (*)

Vì \({A_1},{B_1},{C_1}\) là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên \({a_1} = \dfrac{a}{2}\)

Cạnh của tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh là \(\dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{{{2^1}}}\)

Giả sử (*) đúng với \(n = k\)

Tức là cạnh của tam giác \({A_k}{B_k}{C_k}\) là \({a_k} = \dfrac{a}{{{2^k}}}\)

Ta có \({A_{k + 1}}{B_{k + 1}}{C_{k + 1}}\) có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác \({A_k}{B_k}{C_k}\) nên có cạnh là \({a_{k + 1}} = \dfrac{{{a_k}}}{2} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{{2^k}}} = \dfrac{a}{{{2^{k + 1}}}}\)

=> (*) đúng với \(n = k + 1\)

=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

=> Chu vi của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) như giả thiết là \({P_n} = \dfrac{{3a}}{{{2^n}}}\).

Bước 2:

Như vậy \(P = 3a;{P_1} = \dfrac{{3a}}{2};{P_2} = \dfrac{{3a}}{{{2^2}}};...;{P_n} = \dfrac{{3a}}{{{2^n}}};...\)

Dãy số \(\left( {{P_n}} \right)\) gồm \(P,{P_1},{P_2},...\)là cấp số nhân với số hạng đầu là \(P = 3a\), công bội \(q = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow P + {P_1} + {P_2} + ... = \dfrac{{3a}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 6a\)