Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH.\) Cho biết \(AB:AC = 3:7\) và \(AH = 42cm.\) Tính độ dài đoạn thẳng \(CH.\)

Ta có \(AB:AC = 3:7\) , đặt \(AB = 3a;AC = 7a\,\left( {a > 0} \right)\)

Theo hệ thức lượng \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{{42}^2}}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{1764}} = \dfrac{{58}}{{441{a^2}}}\)

 \( \Rightarrow 441{a^2} = 102312 \Rightarrow a = 2\sqrt {58} \) (TM )

\( \Rightarrow AB = 6\sqrt {58} ;AC = 14\sqrt {58} \)

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông \(AHC\) ta có \(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {14\sqrt {58} } \right)}^2} - {{42}^2}}  = 98\)

Vậy \(CH = 98\).