Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AH \bot BC$( $H$ thuộc $BC$ ). Cho biết $AB:AC = 3:4$ và $BC = 15cm.$ Tính độ dài đoạn thẳng $BH$.

Ta có $AB:AC = 3:4$$ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{{AC}}{4} \Rightarrow \dfrac{{A{B^2}}}{9} = \dfrac{{A{C^2}}}{{16}} $$= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{9+16}}= \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{25}}$ $=\dfrac{{B{C^2}}}{{25}}$$= \dfrac{{225}}{{25}} = 9$

(Vì theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 225$)

Nên  $\dfrac{{A{B^2}}}{9} = 9 \Rightarrow AB = 9$; $\dfrac{{A{C^2}}}{{16}} = 9 \Rightarrow AC = 12$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{81}}{{15}} = 5,4$

Vậy $BH = 5,4$.