Cho tam giác $ABC$ \(\left( {\widehat {A\,\,} < {{90}^0}} \right)\). Về phía ngoài của tam giác $ABC$ dựng các hình vuông $ABDE,{\rm{ }}ACFG.$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $DF.$ Chọn câu đúng.

Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa $A$ dựng tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B.$

Xét tam giác $BHD$ và tam giác $BCA$ có: 

$DB = BA$  (Vì $ADBE$ là hình vuông)

\(\widehat {DBH} = \widehat {ABC}\) (vì cùng phụ với góc $HBA$ )

$BH = BC$  (vì tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B$ )

Do đó: \(\Delta BHD = \Delta BCA\,\,(c.g.c)\), suy ra \(DH = AC,\widehat {BHD} = \widehat {BCA}\).

$AC$ cắt $HD$ tại $K,$ cắt $BH$ tại $I.$

Xét tam giác $IHK$ và tam giác $ICB$ có: \(\widehat {HIK} = \widehat {CIB}\) (đối đỉnh), \(\widehat {BHD} = \widehat {BCA}\), do đó \(\widehat {HKI} = \widehat {IBC} = {90^0} \Rightarrow KC \bot DH\)

Mặt khác \(KC \bot CF\), do đó $DH//CF$ .

Ta có $DH = CF{\rm{ }}\left( { = AC} \right)$ và $DH//CF$ nên $DHFC$ là hình bình hành.

Mà $M$ là trung điểm của $DF$ nên $M$ là trung điểm của $HC,$ suy ra tam giác $MBC$ vuông cân đỉnh $M.$