Cho số phức $w$ và hai số thực $a,{\rm{ }}b.$ Biết rằng $w + i$ và $2w - 1$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0.$ Tính tổng $S = a + b.$
Trả lời bởi giáo viên
Giả sử $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$
Do $w + i$ và $2w - 1$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} + az + b = 0$ nên suy ra $w + i$ và $2w - 1$ là hai số phức liên hợp.
Suy ra $2w - 1 = \overline {w + i} = \bar w - i$ $ \Rightarrow 2\left( {x + yi} \right) - 1 = x - yi - i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = x\\2y = - y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$
Suy ra $w = 1 - \dfrac{1}{3}i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}w + i = 1 + \dfrac{2}{3}i\\2w - 1 = 1 - \dfrac{2}{3}i\end{array} \right..$
Theo định lý Viet, ta có $\left\{ \begin{array}{l}w + i + 2w - 1 = - a\\\left( {w + i} \right)\left( {2w - 1} \right) = b\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - \dfrac{5}{9}$
Hướng dẫn giải:
- Giả sử $w = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$
- Sử dụng điều kiện hai số phức là nghiệm của một phương trình bậc hai nếu chúng là liên hợp của nhau tìm \(w\).
- Sử dụng định lý vi-et tìm \(a,b\) và kết luận.