Cho phương trình ${\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _5}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _m}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác 1 của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm x lớn hơn 2 ? 

Ta có $\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {x^2} - \left( {{x^2} - 1} \right) = 1$

Đặt $t\left( x \right) = x - \sqrt {{x^2} - 1} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right) \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} - 1}  = \dfrac{1}{t}$

Ta có $t'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  - x = 0$

Với $x > 2$ ta có $\sqrt {{x^2} - 1}  < \sqrt {{x^2}}  = x \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 1}  - x < 0 \Rightarrow t'\left( x \right) < 0$$ \Rightarrow x > 2 \Rightarrow t \in \left( {0;2 - \sqrt 3 } \right)$

Khi đó phương trình trở thành 

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\log }_2}t.{{\log }_5}t = {{\log }_m}{t^{ - 1}} =  - {{\log }_m}t{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}t.{{\log }_5}t + {{\log }_m}t = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}t.{{\log }_5}t + {{\log }_m}2.{{\log }_2}t = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_2}t\left( {{{\log }_5}t + {{\log }_m}2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}t = 0}\\{{{\log }_5}t + {{\log }_m}2 = 0}\end{array}} \right.}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\\{{{\log }_5}t =  - {{\log }_m}2 = {{\log }_m}\dfrac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = {5^{{{\log }_m}\dfrac{1}{2}}}}\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm $x > 2$ thì phương trình (*) có nghiệm $t \in \left( {0;2 - \sqrt 3 } \right)$.