Cho \(N = \left( {\dfrac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + x}} - \dfrac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^4} + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3} - 1}} - x + 1} \right)\) với \(x\) là một số nguyên. Chọn câu đúng.

ĐK: \(x \ne 2\)

Đặt \(x - 1 = t\) ta có \(x = t + 1;\,x - 2 = t - 1\)

Do đó \(N = \left( {\dfrac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + x}} - \dfrac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^4} + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3} - 1}} - x + 1} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{t}{{{t^2} + t + 1}} - \dfrac{2}{{t - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{{t^4} + 2}}{{{t^3} - 1}} - t} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{{t\left( {t - 1} \right) - 2\left( {{t^2} + t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + t + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{{t^4} + 2}}{{{t^3} - 1}} - \dfrac{{t\left( {{t^3} - 1} \right)}}{{{t^3} - 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{{{t^2} - t - 2{t^2} - 2t - 2}}{{{t^3} - 1}}:\dfrac{{{t^4} + 2 - {t^4} + t}}{{{t^3} - 1}}\) \( = \dfrac{{ - {t^2} - 3t - 2}}{{{t^3} - 1}}.\dfrac{{{t^3} - 1}}{{t + 2}}\)

\( = \dfrac{{ - {t^2} - 2t - t - 2}}{{t + 2}}\) \( = \dfrac{{ - t\left( {t + 2} \right) - \left( {t + 2} \right)}}{{t + 2}} = \dfrac{{ - \left( {t + 2} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{t + 2}}\) \( =  - t - 1\)

Thay \(x - 1 = t\) ta được \(N =  - \left( {x - 1} \right) - 1 =  - x\)

Vì \(x\) là số nguyên nên giá trị của \(N\) cũng luôn là số nguyên.