Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\)có cạnh bằng \(a.\) Khi đó, khoảng cách giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \((CB'D')\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi \(O,O'\) lần lượt là tâm hai đáy \(ABCD,A'B'C'D'\) .
Vì \(BD//B'D'\) nên \(BD//\left( {CB'D'} \right)\).
Do đó \(d\left( {BD,\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right)\)
Mà \(AO \cap \left( {CB'D'} \right) = C \Rightarrow d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right)\)
Vậy \(d\left( {BD,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right)\)
Ta tính \(d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right)\).
Xét tứ diện \(ACB'D'\) có \(AB' = AC = AD' = B'C = B'D' = CD' = a\sqrt 2 \) nên nó là tứ diện đều cạnh \(a\sqrt 2 \).
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(CB'D'\) thì \(CG = \dfrac{2}{3}CO' = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Do đó \(d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right) = AG = \sqrt {A{C^2} - C{G^2}} = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{6{a^2}}}{9}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Vậy \(d\left( {BD;\left( {CB'D'} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
- Chứng minh \(BD//\left( {CB'D'} \right) \Rightarrow d\left( {BD,\left( {CB'D'} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right)\)
- Tính khoảng cách \(d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right)\) bằng phương pháp tỉ số khoảng cách: \(d\left( {O,\left( {CB'D'} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right)\)
- Tính khoảng cách \(d\left( {A,\left( {CB'D'} \right)} \right)\) sử dụng tính chất tứ diện đều.
Câu hỏi khác
- Bài tập phần hai đường thẳng vuông góc thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần hai mặt phẳng vuông góc thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập góc giữa hai mặt phẳng môn toán ĐGNL có lời giải
