Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, $AB = 6{\rm{cm}}$, $BC = BB' = 2{\rm{cm}}$. Điểm $E$ là trung điểm cạnh $BC$. Một tứ diện đều $MNPQ$ có hai đỉnh $M$ và $N$ nằm trên đường thẳng $C'E$, hai đỉnh $P$, $Q$ nằm trên đường thẳng đi qua điểm $B'$ và cắt đường thẳng $AD$ tại điểm $F$. Khoảng cách $DF$ bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Do tứ diện $MNPQ$ đều nên ta có $MN \bot PQ$ hay $EC' \bot B'F$.
Ta có: $\overrightarrow {B'F} = \overrightarrow {B'A} + \overrightarrow {AF} = \overrightarrow {B'A'} + \overrightarrow {B'B} + k\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'A'} + \overrightarrow {B'B} + k\overrightarrow {B'C'} $
Và $\overrightarrow {EC'} = \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {CC'} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {B'C'} - \overrightarrow {B'B} $
Khi đó, $\overrightarrow {EC'} .\overrightarrow {BF} = - B'{B^2} + \dfrac{k}{2}B'{C'^2} = - 4 + \dfrac{k}{2}.4 = 0$ $ \Rightarrow k = 2$.
Vậy $\overrightarrow {AF} = 2\overrightarrow {AD} $
Vậy $F$ là điểm trên $AD$ sao $D$ là trung điểm của $AF$.
Do đó $DF = BC = 2{\rm{cm}}$.
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp véc tơ trong không gian, biểu diễn các véc tơ \(\overrightarrow {EC'} ,\overrightarrow {B'F} \) qua ba véc tơ không đồng phẳng, đôi một vuông góc, từ đó sử dụng tính chất tứ diện đều có hai cặp cạnh đối vuông góc để tìm vị trí điểm \(F\)
