Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng $a\sqrt 3 $. Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABC\), \({d_1}\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \({d_2}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(d = {d_1} + {d_2}\).

Do tam giác \(ABC\) đều tâm \(O\) suy ra \(AO \bot BC\) tại \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có:\(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,MO = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6},\,OA = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Từ giả thiết hình chóp đều suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{9}}  = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Dựng \(OK \bot SM,AH \bot SM \Rightarrow AH{\rm{//}}OK;\,\,\dfrac{{OK}}{{AH}} = \dfrac{{OM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right),\,AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {{\rm{ do }   }AH{\rm{//}} OK} \right)\).

Từ đó có \({d_1} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 3OK;\,{d_2} = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).

Trong tam giác vuông $OSM$ có đường cao \(OK\) nên:

\(\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{{36}}{{3{a^2}}} + \dfrac{9}{{24{a^2}}} = \dfrac{{99}}{{8{a^2}}} \Rightarrow OK = \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{33}}\).

Vậy \(d = {d_1} + {d_2} = 4OK = \dfrac{{8a\sqrt {22} }}{{33}}\).