Cho hình chóp $S.ABCD$ . Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc cạnh $AB$  và \(CD;\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua $MN$  và song song với $SA$ . Tìm điều kiện của $MN$  để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp\(\left( \alpha  \right)\) là một hình thang.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( \alpha  \right) = MQ\parallel SA\,\,\left( {Q \in SB} \right).\)

Trong (ABCD), gọi \(I = MN \cap AC\). Ta có:

\(\begin{array}{l}I \in MN,\,MN \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow I \in \left( \alpha  \right).\\I \in AC,\,AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow T \in \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAC} \right).\end{array}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha  \right) \cap \left( {SAC} \right)\\\left( \alpha  \right)\parallel SA\\SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( \alpha  \right) = IP\parallel SA\,\,\left( {P \in SC} \right).\)

Thiết diện là tứ giác $MNPQ$ .

Để tứ giác $MNPQ$ là hình thang thì cần $MQ//NP$ hoặc $MN//PQ$ .

Trường hợp 1: Nếu $MQ//NP$ thì

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MQ\parallel NP\\MQ\parallel SA\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel NP,\) mà \(NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\) (Vô lí).

Trường hợp 2: Nếu $MN//PQ$  thì ta có các mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),\left( \alpha  \right),\left( {SBC} \right)$  đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là $MN,BC,PQ$ nên $MN//BC$.

Đảo lại nếu $MN//BC$ thì \(\left\{ \begin{array}{l}PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right)\\MN \subset \left( \alpha  \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ\parallel MN\parallel BC\) nên tứ giác $MNPQ$ là hình thang.

Vậy tứ giác $MNPQ$  là hình thang thì điều kiện là $MN//BC$ .