Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).
Ta có \(AB\) song song với \(\left( {SDC} \right)\) nên suy ra \(AB\) song song với \(\Delta \).
Gọi \(N\) là trung điểm \(SC\), ta có \(N \in \Delta \).
Do đó thiết diện là hình thang cân \(ABNM\).
Kẻ \(MH \bot AB\) tại \(H\), \(H \in AB\). Do \(AB = CD\) và \(MN < CD\) nên \(H\) thuộc đoạn \(AB\).
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến, ta có
\(AM = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + 2{a^2}}}{2} - \dfrac{{2{a^2}}}{4}} = a\).
Mặt khác \(AH = \dfrac{{AB - MN}}{2} = \dfrac{{a - \dfrac{a}{2}}}{2} = \dfrac{a}{4}\) nên \(MH = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{4}\).
Suy ra ${S_{ABNM}} = \dfrac{{MH.\left( {MN + AB} \right)}}{2} = \dfrac{{3\sqrt {15} {a^2}}}{{16}}$.
Hướng dẫn giải:
Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( {ABM} \right)\), nhận xét hình dạng thiết diện và tính diệ tích.
