Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AB$ và $CD$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Tìm điều kiện của $AB$ và $CD$ để thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là một hình bình hành.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: $ABCD$ là hình thang và $I,J$ là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$.
\( \Rightarrow IJ//AB//CD\) .
\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\{\rm{IJ}} \subset \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB//{\rm{IJ}}\end{array} \right. \Rightarrow \) Trong $\left( {SAB} \right)$ qua $G$ kẻ \(MN//AB\left( {M \in SA;N \in SB} \right)\)
\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right) = MN\) và $MN//IJ//AB//CD$ .
Dễ thấy thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là hình thang $MNJI$.
$G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$ và $MN//AB$ nên theo định lí Ta-let ta có:
\(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SG}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\) (Với $E$ là trung điểm của $AB$).
\( \Rightarrow MN = \dfrac{2}{3}AB\)
Lại có: $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên ${\rm{IJ}} = \dfrac{{AB + CD}}{2}.$
Để hình thang $MNJI$ trở thành hình bình hành thì cần điều kiện $MN = IJ$.
\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = 3CD.\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung $M$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $d$ và $d'$ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\)là đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ và $d'$ .
- Sử dụng các tính chất của đường trung bình của hình thang.
- Sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác.
- Sử dụng định lí Ta-let để suy ra các tỉ lệ.
- Dấu hiệu nhận biết các tứ giác đặc biệt.
