Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $SA = SB = SC = b$ (\(a > b\sqrt 2 \)). Gọi $G$ là trọng tâm$\Delta \,ABC$. Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$ tại điểm I nằm giữa $S$ và $C$. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Kẻ \(AI \bot SC\), ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SAI = \Delta SBI\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {SIA} = \widehat {SIB} = {90^0} \Rightarrow BI \bot SC\)
\( \Rightarrow SC \bot \left( {ABI} \right)\). Thiết diện là tam giác $AIB.$
Ta có $AI = AC\sin \widehat {ACS} = a.\sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {ACS}} = a.\sqrt {1 - \left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {b^2}}}{{2ab}}} \right)} = a\sqrt {1 - \dfrac{a}{{2b}}} .$
Gọi $J$ là trung điểm của $AB.$ Dễ thấy tam giác $AIB$ cân tại $I,$ suy ra \(IJ \bot AB\)
$ \Rightarrow IJ = \sqrt {A{I^2} - A{J^2}} = \sqrt {{a^2}\left( {1 - \dfrac{a}{{2b}}} \right) - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt {\dfrac{3}{4} - \dfrac{a}{{2b}}} = \dfrac{a}{{2b}}\sqrt {3{b^2} - 2ab} $
Do đó: \(S = \dfrac{1}{2}AB.IJ = \dfrac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - 2ab} }}{{4b}}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích
