Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA\) vuông góc với mặt đáy, \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), \(SA = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SC\), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\), \(M\) và song song với đường thẳng \(BD\). Tính diện tích thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(O = AC \cap BD\), \(I = SO \cap AM\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) qua \(I\) kẻ \(EF//BD\), khi đó ta có \(\left( {AEMF} \right) \equiv \left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \(AM\) và song song với \(BD\). Do đó thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác \(AEMF\)
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{FE\,{\rm{//}}\,BD}\\{BD \bot \left( {SAC} \right)}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow FE \bot \left( {SAC} \right)$$ \Rightarrow FE \bot AM$.
Mặt khác ta có:
*\(AC = 2a = SA\) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(AM = a\sqrt 2 \).
* \(I\) là trọng tâm tam giác \(SAC\), mà \(EF\,{\rm{//}}\,BD\) nên tính được \(EF = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{{4a}}{3}\).
Tứ giác \(AEMF\) có hai đường chéo \(FE \bot AM\) nên \({S_{AEMF}} = \dfrac{1}{2}FE.AM = \dfrac{{2{a^2}\sqrt 2 }}{3}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\).
- Nhận xét tính chất thiết diện và tính diện tích.
