Cho hình chóp đều $S.ABC$ có  đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tâm $O$, đường cao $AA'$; $SO = 2a$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $OA'{\rm{ }}\left( {M \ne A';M \ne O} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AA'$. Đặt $AM = x$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha  \right)$ với hình chóp $S.ABC$.

Vì $S.ABC$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABC} \right)$

($O$ là tâm của tam giác $ABC$)

Do đó $SO \bot AA'$ mà $\left( \alpha  \right) \bot AA'$ suy ra $SO\parallel \left( \alpha  \right)$.

Tương tự ta cũng có $BC\parallel \left( \alpha  \right)$

Qua $M $ kẻ $IJ\parallel BC$ với $I \in AB,{\rm{ }}J \in AC$; kẻ $MN\parallel SO$ với $N \in SA'.$

Qua $N$ kẻ $EF\parallel BC$ với $E \in SB,{\rm{ }}F \in SC$.

Khi đó thiết diện là hình thang $IJFE.$

Diện tích hình thang ${S_{IJEF}} = \dfrac{1}{2}\left( {IJ + EF} \right)MN$.

Tam giác $ABC,$ có $\dfrac{{IJ}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} \Rightarrow IJ = \dfrac{{AM.BC}}{{AA'}} = \dfrac{{x.a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{3}.$

Tam giác $SBC,$ có $\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow EF = \dfrac{{OM.BC}}{{OA'}} = \dfrac{{\left( {x - \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)a}}{{\dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\left( {x\sqrt 3  - a} \right).$

Tam giác $SOA’,$ có $\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = \dfrac{{SO.MA'}}{{OA'}} = \dfrac{{2a.\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - x} \right)}}{{\dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right).$

Vậy

$\begin{array}{l}{S_{IJEF}} = \dfrac{1}{2}MN\left( {EF + IJ} \right) = \dfrac{1}{2}.2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\left( {\dfrac{{2x\sqrt 3 }}{3} + 2\left( {x\sqrt 3  - a} \right)} \right)\\ = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3  - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right) =  - 2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).\end{array}$