Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right) = 0\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có hình vẽ bên dưới.

Tập nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {2\sin x - 1} \right| - 1} \right) = m\) (với \(m\) là tham số) trên đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\) có tối đa bao nhiêu phần tử?

Đặt \(2\sin x - 1 = t\), với \(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 3;1} \right]\).

Vì \(f'\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba nên có dạng \(f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = 0\\c = 0\\ - a + b - c + d =  - 2\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + 2x\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Từ đó suy ra BBT của hàm số \(y = f\left( {x - 1} \right)\) như sau:

Từ BBT trên ta suy ra BBT của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right| - 1} \right)\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( {\left| t \right| - 1} \right) = m\) có tối đa 4 nghiệm \(t \in \left( { - 3;1} \right)\)

Với mỗi giá trị \(t \in \left( { - 3;1} \right)\) thì phương trình \(2\sin x - 1 = t\) có tối đa 4 nghiệm trên \(\left[ {0;3\pi } \right]\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {2\sin x - 1} \right| - 1} \right) = m\) có tối đa 16 phần tử.