Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).\) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2020\pi } \right)?\)

ĐKXĐ: \(\cos x > 0\)

Ta có: \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\).

Với \(k\) chẵn, đặt \(k = 2m\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó ta có \(x = m2\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(k\) lẻ, đặt \(k = 2n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó ta có \(x = \left( {2n + 1} \right)\pi  = \pi  + n2\pi \,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\).

Kiểm tra ĐKXĐ:

\(x = m2\pi  \Rightarrow \cos x = 1 > 0\): thỏa mãn.

\(x = \pi  + k2\pi  \Rightarrow \cos x =  - 1 < 0\): loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là \(x = m2\pi ,\,\,m \in \mathbb{Z}\).

Theo bài ra ta có: \(x \in \left( {0;2020\pi } \right) \Rightarrow 0 < m2\pi  < 2020\pi  \Leftrightarrow 0 < m < 1010 \Rightarrow \) Có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 1009 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2020\pi } \right)\).