Cho hàm số $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right).$ Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $\left( {0;2020\pi } \right)?$

ĐKXĐ: $\cos x > 0$

Ta có: $f\left( x \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow$$\dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x.\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}$.

Với $k$ chẵn, đặt $k = 2m\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)$, khi đó ta có $x = m2\pi \,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $k$ lẻ, đặt $k = 2n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$, khi đó ta có $x = \left( {2n + 1} \right)\pi  = \pi  + n2\pi \,\,\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$.

Kiểm tra ĐKXĐ:

$x = m2\pi  \Rightarrow \cos x = 1 > 0$: thỏa mãn.

$x = \pi  + k2\pi  \Rightarrow \cos x =  - 1 < 0$: loại.

Suy ra nghiệm của phương trình là $x = m2\pi ,\,\,m \in \mathbb{Z}$.

Theo bài ra ta có: $x \in \left( {0;2020\pi } \right) \Rightarrow 0 < m2\pi  < 2020\pi  \Leftrightarrow 0 < m < 1010 \Rightarrow$ Có 1009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Vậy phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 1009 nghiệm trong khoảng $\left( {0;2020\pi } \right)$.