Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;2} \right]\)và thỏa mãn điều kiện \(f(x) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\). Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sqrt {x + 2} + xf\left( {3 - {x^2}} \right)\\ \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\sqrt {x + 2} dx} + \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx} \\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2}\end{array}\)
Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\sqrt {x + 2} dx} \).
Đặt \(t = \sqrt {x + 2} \) \( \Rightarrow {t^2} = x + 2 \Rightarrow 2tdt = dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_1^2 {t.2tdt} = 2\int\limits_1^2 {{t^2}dt} = \left. {\dfrac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \dfrac{{14}}{3}.\)
Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_{ - 1}^2 {xf\left( {3 - {x^2}} \right)dx} \).
Đặt \(u = 3 - {x^2} \Rightarrow du = - 2xdx\) \( \Rightarrow xdx = - \dfrac{1}{2}du\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 2\\x = 2 \Rightarrow u = - 1\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_2^{ - 1} { - \dfrac{1}{2}f\left( u \right)du} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}I\).
Vậy \(I = \dfrac{{14}}{3} + \dfrac{1}{2}I \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}I = \dfrac{{14}}{3} \Leftrightarrow I = \dfrac{{28}}{3}\).
Hướng dẫn giải:
- Lấy tích phân từ \( - 1\) đến 2 của hai vế của phương trình đã cho.
- Sử dụng phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
- Sử dụng tính chất không phụ thuộc vào biến của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( u \right)du} \).
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
