Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $R$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}, \forall x \in R$ và $f\left( 0 \right) = {\rm{\;}} - 1$. Tính $f\left( 3 \right)$.

Chuyển vế và nhân cả hai vế với ${e^{ - x}}$ ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R}\\{ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right) = {x^2} + {e^{ - x}}}\end{array}$

Ta có ${\left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]^\prime } = f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right)$$ \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]^\prime } = {x^2} + {e^{ - x}}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được $f\left( x \right){e^{ - x}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1 + C{e^x}$

Ta có $f\left( 0 \right) = {\rm{\;}} - 1 \Leftrightarrow {\rm{ \;}} - 1 + C = {\rm{\;}} - 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1$$ \Rightarrow f\left( 3 \right) = \dfrac{{{3^3}.{e^3}}}{3} - 1 = 9{e^3} - 1$.