Cho hai số phức \(u,\,\,v\) thỏa mãn \(3\left| {u - 6i} \right| + 3\left| {u - 1 - 3i} \right| = 5\sqrt {10} ,\,\,\left| {v - 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v  + i} \right|\). GTNN của \(\left| {u - v} \right|\) là

Ta có: \(3\left| {u - 6i} \right| + 3\left| {u - 1 - 3i} \right| = 5\sqrt {10}  \Leftrightarrow \left| {u - 6i} \right| + \left| {u - 1 - 3i} \right| = \dfrac{{5\sqrt {10} }}{3} \Rightarrow \) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(u\) là đường elip \(\left( E \right)\) có 2 tiêu điểm là \({F_1}(0;6),\,\,{F_2}(1;3)\) và độ dài trục lớn là \(\dfrac{{5\sqrt {10} }}{6}\).

Ta có:  \(\left| {v - 1 + 2i} \right| = \left| {\overline v  + i} \right| = \left| {\overline v  + \left( {\overline { - i} } \right)} \right| = \left| {\overline {v - i} } \right| = \left| {v - i} \right| \Rightarrow \) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(u\) là đường trung trực \((d)\) của đoạn thẳng AB, trong đó \(A(1; - 2),\,\,B(0;1)\).

Giả sử \(M',\,\,N'\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(u,\,\,v\) \( \Rightarrow M' \in (E),\,\,N' \in d\)

Nhận xét: Việc tìm GTNN của \(\left| {u - v} \right|\) là tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng \(M'N'\).

Dễ dàng kiểm tra được: \({F_1}{F_2} \bot d\)

Gọi \(N = {F_1}{F_2} \cap d,\,\,\,M = {F_1}{F_2} \cap \left( E \right),\,\,(M\)nằm giữa N và \({F_2}\)). Khi đó với mọi điểm \(M' \in (E),\,\,N' \in d\) thì \(MN \le M'N'\)

\( \Rightarrow {\left| {u - v} \right|_{\min }} = MN\)

Ta tính MN ?

+) Viết phương trình đường thẳng d:

\(A(1; - 2),\,\,B(0;1) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right)\\I\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right.\) (I là trung điểm của AB) \( \Rightarrow d:\,\,(x - \dfrac{1}{2}) - 3(y + \dfrac{1}{2}) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 2 = 0\)

+) Phương trình đường thẳng \({F_1}{F_2}\):

\(\overrightarrow {{F_1}{F_2}}  = (1; - 3)\)

\(EF:\,\,\,\,3(x - 0) + 1(y - 6) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6 = 0\)

+) Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 2 = 0\\3x + y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow N(2;0)\)

+) \(M \in {F_1}{F_2} \Rightarrow M(m;6 - 3m),\,\,1 < m < 2\)

Ta có: \(MA + MB = 2a \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + {{\left( {8 - 3m} \right)}^2}}  + \sqrt {{m^2} + {{(5 - 3m)}^2}}  = \dfrac{{5\sqrt {10} }}{3} \Leftrightarrow m = \dfrac{4}{3} \Rightarrow M\left( {\dfrac{4}{3};2} \right)\)

Suy ra,  \(MN = \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2} + {2^2}}  = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}\) \( \Rightarrow {\left| {u - v} \right|_{\min }} = MN = \dfrac{{2\sqrt {10} }}{3}\)